中考冲刺压轴系列——常考的几何动态题——三角形与四边形相关(3)
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【说明】本系列的试题综合性均较强，难度适中，尤其是在训练读图、画图、识图、作图及变式方面有一定的帮助作用，同时本系列试题多数适合于中考中的中档和压轴题（填选压轴或纯几何压轴），阅读时务必要体会“动中有静”的动态变化思想.
【试题】如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E是AB的中点，点F在边CB的延长线上，且BE=BF，连接EF．
（1）若取AE的中点P，则BP与CF的数量关系是___________；
（2）在图①中，若将△BEF绕点B顺时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图②，是否存在某位置，使得AE∥BF？，若存在，求出所有可能的旋转角α的大小；若不存在，请说明理由；
（3）在图①中，若将△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图③，取AE的中点P，连接BP、CF，求证：BP=0.5CF且BP⊥CF．
【图文解析】
（1）简析：直接利用正方形的性质和中点的定义，可得到：BP＝0.5CF.
（2）首先通过观察想象画出符合题意的草图，要注意多种情况（这是最关键的也是最难的一步，唯一办法通过多加训练）如下图示：
标注上已知条件，就不难得到答案，如下图示：（通过三角函数的定义求出相应的角度）
或：
综上，存在α，使得AE∥BF，当α=60°或300°时，AE∥BF．
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下面还有，继续……
（3）P是AE的中点，与“中点“相关的常用辅助线——倍长中线（可要熟练掌握，本公众号中也有较多类似的文章，可通过文章前面提供的“搜索”方法找到相应的所有文章），如下图示：
不难得到：
由此得到△CBF≌△BAG，因此CF＝BP，进一步得到BP＝0.5CF.
因图中有特殊的正方形和直角三角形，还可以通过旋转来解决，如下图示（多种旋转方法均可）
进一步地，有：
根据三角形的中位线定理，……
下面证明BP⊥CF，需转化为证角等于900，为此先延长PB……，如下图示：
由上述全等，可得∠1＝∠2，又∠2+∠3＝1800－∠4＝900，所以∠1+∠3＝900，从而∠5＝900，因此BP⊥CF.
当然也可用上述的第二种方法继续证明也可，方法类似.
【反思】本题的辅助线添加方法均自然，常用的务必熟练掌握．
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